Изучение математики: 05/27/16

пятница, 27 мая 2016 г.

Задачі на роботу

В даній статті розглянемо задачі на сумісну роботу. Задачі такого типу зустрічаються як на ДПА (в 9 та в 11класі) так і на ЗНО з математики.
Багато хто з учнів робить помилки під час розв'язання подібних вправ.
Розглянемо задачу:

Школяр Петрик може прибрати свою кімнату за 2 години, а його молодший братик за 3 години. Скільки часу потрібно хлопцям на прибирання кімнати?

Дуже поширена помилка 5 годин. Але якщо подумати, хлопці працюють разом, то вони мають роботу виконати швидше, тобто
їм потрібно менше часу.
В таких задачах потрідно знайти яку частину роботи виконає кожен персонаж задачі за одиницю часу працюючи окремо та яку частину роботи вони (персонажі задачі) виконають за одиницю часу працюючи разом. Зрозуміло, що ці частини роботи будуть рівними.
В нашій задачі, Петрик за годину виконає половину роботи, а його молодший брат за годину прибере третину кімнати. Нехай хлопцям,
працюючи разом, на прибирання кімнати потрібно х годин. А за годину сумісної роботи вони приберуть 1/x частину кімнати.
Отже, маємо рівняння:

$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{1}{x}$

Нам потрібно розв'язати звичайне рівняння.

$\frac{3x}{6x}+\frac{2x}{6x}=\frac{6}{6x}$

5x=6;

$x=\frac{6}{5}=1\frac{1}{5}$

Тобто хлопцям для прибирання кімнати потрібно 1 годину і 12 хвилин (60:5=12).

Тепер розглянемо задачу взяту з книги по підготовці до ДПА з математики (задача такого характеру може бути і на ЗНО з математики):

Дві бригади, працюючи разом зорали поле за 8 год. За скільки годин може зорати поле кожна бригада, працюючи самостійно, якщо одній бригаді на це потрібно на 12 год більше, ніж інший?

Нехай одній бригаді потрібно х годин для того, щоб зорати поле працюючи самостійно, тоді іншій х+12 годин.

Тоді за одну годину перша бригада виконає 1/x частину роботи, друга-

$\frac{1}{x+12}$

Складаємо рівняння:

$\frac{1}{x}+\frac{1}{x+12}=\frac{1}{8}$

$\frac{8x+96}{8x(x+12)}+\frac{8x}{8x(x+12)}=\frac{x^{2}+12x}{8x(x+12)}$

$-x^{2}+4x+96=0$

$x^{2}-4x-96=0$

d=16+4*96=400

$x_{1}=\frac{4-20}{2}=-8$

-8 сторонній корінь

x₂= 12 год.

Отже першій бригаді потрібно 12 год, а другій 24 год (12+12).

Відповідь: 12 год, 24 год.

В таких задачах головне зрозуміти як розв'язувати подібні задачі, та багато розв'язувати, щоб закріпити навички і Вам не страшна будь-яка задача на цю тему чи то на ЗНО, чи то на ДПА з математики. Успіхів!

Задачі на рух

В цій статті розберемо задачі на рух. В кожному другому варіанті на ДПА з математики в 9 класі - задача на рух. Також ці задачі зустрічаються і на ЗНО з математики.

Наприклад, за 1 хвилину ви робите 100 кроків. Скільки кроків ви зробите за 5 хвилин? Правильно 500 кроків(5*100=500).Тобто, для того, щоб знайти відстань треба час помножити на швидкість S=vt. Або, 500 кроків Ви робите за 5 хвилин, скільки кроків ви зробите за одну хвилину(швидкість)? Зрозуміло, для того, щоб знайти швидкість треба відстань поділити на час, тоді 500:5=100 кр/хв. І останній клас задач, знайти час за який ви зробите 500 кроків, якщо ваша швидкість 100 кр/хв. Ясно, щоб знайти час треба відстань поділити на швидкість, тобто 500:100=5 хв.

Тепер розглянемо задачу з ДПА:

Велосипедист проїхав із села на станцію і повернувся назад. На зворотньому шляху він збільшив швідкість на 1 км/год порівняно з рухом на станцію і витратив на нього на 2 хв менше. З якою швидкістю їхав велосипедист на станцію, якщо відстань між селом і станцією становить 8 км?

Позначимо х - швидкість велосипедиста з якою він їхав з села на станцію. Тоді назад він рухався зі швидкістю х+1. зрозуміло, що 2 хв=2:60 год=1/30 год.

Складемо таблицю: