Изучение математики: 05/31/16

вторник, 31 мая 2016 г.

прогресія

Сьогодні, порозвязуємо приклади, які можуть бути на ЗНО по темі "Прогресія".

Приклад 1. В арифметичній прогресії a₁= 3, a₇₅ =299. Знайти a₅₀.

А	Б	В	Г	Д
90	99	190	199	203

Як ми знаємо a₅₀=a₁+49d. Для розвязку задачі потрібно знайти d. Згідно умови a₇₅ = a₁+74d =299,

3+74d=299;

74d=299-3;

74d=296;

d=296:74;

d=4.

a₅₀=a₁+49d=3+49*4=199;

Відповідь: 199 Г.

Приклад 2. Обчислити 17+17²+17³+...+17²⁰ =

А	Б	В	Г	Д
$\frac{16(17^{20}-1)}{17}$	$\frac{17(17^{19}-1)}{16}$	$\frac{17(17^{20}-1)}{16}$	$\frac{17^{20}-1}{16}$	$\frac{17^{21}-1}{16}$

Треба знайти суму двадцяти членів геометричної прогресії у якої перший елемент дорівнює b₁= 17, q=b₂:b₁=17,

$S_{20}=\frac{b_{1}(q^{n}-1)}{q-1}=\frac{17(17^{^{20}}-1)}{16}$

Відповідь: В.

Приклад 3. Установити відповідність між арифметичними прогресіями (an) та їх різницями (А-Д)

1. a₁= -1, a₂ =3	А. -2
2. a₁= -30, a₅ =-6	Б. -4
3. a₁= 13, a₄ =1	В. 2
4. a₁= 17, a₁₁ = -3	Г. 4
	Д. 6

1. a₁= -1, a₂ =3, d=3-(-1)=4.

1-Г;

2. a₁= -30, a₅ =-6, a₅= a₁+ 4d=-6;

-6=-30+4d;

4d=24;

d=6.

2-Д.

3. a₁= 13, a₄ =1

a₄ =a₁ +3d,

1=13+3d,

3d=-12;

d=-4;

3-Б.

4. a₁= 17, a₁₁ = -3

a₁₁ = a₁ +10d = -3;

-3=17+10d;

10d= -20;

d=-2.

4-A.

Відповідь: 1-Г; 2-Д; 3-Б; 4-A.

Приклад 4. Установити відповідність між нескінченними спадними геометричними прогресіями (b_n) (1-4), заданими двома першими членами та їх сумами (А-Д).

1. b₁ = 6, b₂ =1	А. $20\frac{5}{6}$
2. b₁ = 25, b₂ = -5	Б. 0,6
3. b₁ = $\frac{2}{3}$ , b₂ = $-\frac{1}{3}$	В. 3,6
4. b₁= $\frac{3}{7}$ , b₂ = $\frac{6}{49}$	Г. 7,2
	Д. $\frac{4}{9}$

За відомою формулою $S=\frac{b_{1}}{1-q}$

1. b₁ = 6, b₂ =1

$S=\frac{6}{1-\frac{1}{6}}=\frac{6}{\frac{5}{6}}=\frac{36}{5}=7,2$

1-Г

2. b₁ = 25, b₂ =-5;

$S=\frac{25}{1+\frac{1}{5}}=\frac{25}{\frac{6}{5}}=\frac{125}{6}=20\frac{5}{6}$

2-А

3. b₁ = $\frac{2}{3}$ , b₂ = $-\frac{1}{3}$

$q=-\frac{1}{3}: \frac{2}{3}= -\frac{3}{6}=-\frac{1}{2}$

$S=\frac{\frac{2}{3}}{1+\frac{1}{2}}=\frac{2}{3}:\frac{3}{2}=\frac{4}{9}$

3-Д

4. b₁= $\frac{3}{7}$ , b₂ = $\frac{6}{49}$

$q=\frac{6}{49}:\frac{3}{7}=\frac{6\cdot 7}{3\cdot 49}=\frac{2}{7}$

$S=\frac{3}{7}:(1-\frac{2}{7})=\frac{3}{7}:\frac{5}{7}=\frac{3\cdot 7}{5\cdot 7}=\frac{3}{5}=0,6$

4-Б

Відповідь: 1-Г; 2-А; 3-Д; 4-Б.

Приклад 5. Знайти найбільше значення х, за яких числа х-1; 2х-1; і х²-5,

записані в указаному порядку утворюють арифметичну проогресію.

За означенням арифметичної прогресії:

х²-5-(2x-1)=2x-1-(x-1)

х²-5-2x+1=2x-1-x+1

х²-3x-4=0

За теоремою Вієта:

х₁=4

х₂=-1.

Найбільше з цих двох є 4.

Перевіримо, підставивши в умову, 3;7;11 - арифметична прогресія.

Відповідь: 4.

Приклад 6. (х_n) нескінченна спадна геометрична прогресія, у якої х₁=3,

$q=\frac{1}{3}$ .

Знайти суму її членів з непарними номерами.

Запишемо, дану геометричну прогресію

$3;1;\frac{1}{3};\frac{1}{9};\frac{1}{27};\frac{1}{81}......$

Випишемо члениз непарними номерами, тобто перший, третій, пятий, сьомий....

$3;\frac{1}{3}; \frac{1}{27}; \frac{1}{243}; \frac{1}{2187}.......$

утворилась нова нескінченна спадна геометрична прогресія, де

$b_{1}=3;\, \, \, q=\frac{1}{9}$ .

Нам треба знайти її суму. За відомою формулою, це буде:

$S=\frac{3}{1-\frac{1}{9}}=\frac{3}{\frac{8}{9}}=\frac{27}{8}=3,375$

Відповідь: 3,375.

Ми розібрали завдання на тему прогресія три різні типи, які будуть на ЗНО.

Зрозуміло, що це дається, як приклад, для того щоб розібрати і добре

освоїти цю тему бажано перерозвязувати багато вправ.

Успіхів :)

Статтю написав викладач математики Ткаченко Євген Миколайович

Дробно-рациональные уравнения

Рассмотрим примеры, аналогичные тем, которые могут быть на ЗНО по математике. Попробуйте самостоятельно решить а затем свериться с ответами.

Решить уравнение

$\frac{x-5}{x-5}=1$ .

А	Б	В	Г	Д
5	R	$\varnothing$	$(-\infty; 5)\mho(5;+\infty)$	$(5;+\infty)$

Понятно, что левая часть равна правой, при условии, что х не равен 5 (когда х = 5, в знаменателе будет 0, а на 0 делить нельзя) .Поэтому х может быть любым действительным числом, кроме 5.

Ответ: Г.

2. Установить значения а, при которых уравнение

$\frac{x-5}{x+9}=\frac{a-x}{x+9}$

не имеет решений.

А	Б	В	Г	Д
a = -23	a = -9	a = 5	a = 23	a = 9

Имеем равенство двух дробей, если равные знаменатели (не равны нулю), то и равны будут числительные.

x - 5 = a - x

a - x = x - 5

a = 2x - 5,

Ясно, что

$x\neq -9$

поэтому подставив -9, вместо х

a = 2x - 5 = 2( -9 ) - 5 = -18 - 5 = -23.

а = - 23.

Ответ А.

3. Установить соответствие между уравнениями (1- 4) и множествами их решений

1. $\frac{(x^{2}-4)(x^{2}-25)}{(x-2)(x-5)} =0$	A. {-2; 5}
2. $\frac{(x^{2}-4)(x^{2}-25)}{(x+2)(x+5)} =0$	Б. {-2;-5}
3. $\frac{(x+2)(x-5)}{(x^{2}-4)(x^{2}-25)} =0$	В. {2;5}
4. $\frac{(x^{2}-4)(x^{2}-25)}{(x-2)(x+5)} =0$	Г. {2;-5}
	Д. $\varnothing$

Дробь равна нулю когда числитель равен 0, а знаменатель не равен, также нужно знать формулу разности квадратов

a²- b²= ( a - b ) ( a + b )

1. х не равен 2 и х не равен 5

После сокращения получаем

х + 2 = 0 или х + 5 = 0

х = - 2 или х = - 5

1-Б

2. После сокращения получаем

x - 2 = 0 или х - 5 = 0

х = 2 или х = 5.

2-В

3. После сокращения в числителе останется 1, а в знаменателе выражение(х-2)(х+5)= 0, что не может быть, поэтому решений нет.

3-Д

4. После сокращения получаем

х + 2 = 0 или х - 5 = 0

х = - 2 или 5

4-А

Ответ: 1-Б, 2-В,3-Д,4-А.

4. Установить соответствие между уравнениями (1- 4) и множествами их решений

1. $\frac{2x-4}{x-2}=1$	A. {1}
2. $\frac{3x+2}{x+2}=1$	Б. {-1}
3. $\frac{(2x+3)(x-2)}{x^{2}-4}=1$	В. {0}
4. $\frac{4x-3}{x-2}=-1$	Г. {2}
	Д. $\varnothing$

$\frac{2x-4}{x-2}=1$

$\frac{2(x-2)}{x-2}=1$

$x\neq 2$

2 = 1, а это противоречие, поэтому

1-Д.

$\frac{3x+2}{x+2}=1$

3x + 2 = x + 2

3x - x = 2 - 2

2x = 0

x = 0

2- В

$\frac{(2x+3)(x-2)}{x^{2}-4}=1$

$\frac{(2x+3)(x-2)}{(x-2)(x+2)}=1$

$\frac{2x+3}{x+2}=1$

2x + 3 = x + 2

x = 2 - 3

x = -1

3-Б

$\frac{4x-3}{x-2}=-1$

4x - 3 = 2 - x

4x + x = 2 + 3

5x = 5

x = 1

4-A

Ответ: 1-Д, 2-В, 3-Б, 4-А.

5. Решить уравнение

$(\frac{x+1}{2x-1})^{4} - 8(\frac{x+1}{2x-1})^{2}=9$

Пусть

$\frac{x+1}{2x-1}=t$

t⁴- 8t² - 9 = 0

Обычное биквадратное уравнение

t²= z (понятно, что z может быть неотрицательным числом, в нашем случае z>0)

z²- 8z - 9 = 0

По теореме Виета

z₁= 9

z₂= -1 не будет решением уравнения

тогда

_t1= 3

_t2= -3

Возвращаемся к замене

$\frac{x+1}{2x-1}=t$

$\frac{x+1}{2x-1}=3$

x + 1 = 6x - 3

x-6x=-3-1

-5x = - 4

$x=\frac{4}{5}$

или

$\frac{x+1}{2x-1}=-3$

x + 1 = - 6x + 3

7x = 2

$x=\frac{2}{7}$

Ответ $\frac{2}{7}; \frac{4}{5}$

6. Решить уравнение

$9(x+\frac{1}{x})-2(x^{2}+\frac{1}{x^{2}})=14$

Сделаем замену:

$x+\frac{1}{x}=t$

Тогда:

$t^{2}=x^{2}+2+\frac{1}{x^{2}}; \: \: \: \: \: \; \; \; x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=t^{2}-2$

9t - 2(t²- 2) = 14

9t - 2t²+ 4 = 14

- 2t²+ 9t - 10 = 0

2t²- 9t + 10 = 0

d = 81 - 4 * 2 * 10 = 81 - 80 = 1

t₁ = ( 9 - 1 ) : 4 = 2

t₂= ( 9 + 1 ) : 4 = 2,5

возвращаемся к замене

$x+\frac{1}{x}=t$

$x+\frac{1}{x}=2\; \; \; \; \; \; \; \, \: x^{2}+1=2x$

x²- 2x + 1 = 0

( x - 1 )²= 0

x = 1

$x+\frac{1}{x}=2,5;\; \; \; \; \; \; \; \, \: x^{2}+1=2,5x;\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \;$

2x²- 5x + 2 = 0

d = 25 - 4 * 2 * 2 = 9

x₁= ( 5 - 3 ) : 4 = 0,5

x₂= ( 5 + 3 ) : 4 = 2

Ответ: 0,5; 1; 2.

Для того, чтобы хорошо научиться решать подобные упражнения нужно много практиковаться, начиная от простых заданий и постепенно усложняя их.

У Вас все получится! Вы отлично сдадите ЗНО, ДПА по математике

Успехов!

Автор статьи Ткаченко Евгений Николаевич

Изучение математики

Математика

вторник, 31 мая 2016 г.

прогресія

Дробно-рациональные уравнения

Архив блога

Математика

вторник, 31 мая 2016 г.

прогресія

Дробно-рациональные уравнения

вторник, 31 мая 2016 г.