Изучение математики: прогресія

вторник, 31 мая 2016 г.

прогресія

Сьогодні, порозвязуємо приклади, які можуть бути на ЗНО по темі "Прогресія".

Приклад 1. В арифметичній прогресії a₁= 3, a₇₅ =299. Знайти a₅₀.

А	Б	В	Г	Д
90	99	190	199	203

Як ми знаємо a₅₀=a₁+49d. Для розвязку задачі потрібно знайти d. Згідно умови a₇₅ = a₁+74d =299,

3+74d=299;

74d=299-3;

74d=296;

d=296:74;

d=4.

a₅₀=a₁+49d=3+49*4=199;

Відповідь: 199 Г.

Приклад 2. Обчислити 17+17²+17³+...+17²⁰ =

А	Б	В	Г	Д
$\frac{16(17^{20}-1)}{17}$	$\frac{17(17^{19}-1)}{16}$	$\frac{17(17^{20}-1)}{16}$	$\frac{17^{20}-1}{16}$	$\frac{17^{21}-1}{16}$

Треба знайти суму двадцяти членів геометричної прогресії у якої перший елемент дорівнює b₁= 17, q=b₂:b₁=17,

$S_{20}=\frac{b_{1}(q^{n}-1)}{q-1}=\frac{17(17^{^{20}}-1)}{16}$

Відповідь: В.

Приклад 3. Установити відповідність між арифметичними прогресіями (an) та їх різницями (А-Д)

1. a₁= -1, a₂ =3	А. -2
2. a₁= -30, a₅ =-6	Б. -4
3. a₁= 13, a₄ =1	В. 2
4. a₁= 17, a₁₁ = -3	Г. 4
	Д. 6

1. a₁= -1, a₂ =3, d=3-(-1)=4.

1-Г;

2. a₁= -30, a₅ =-6, a₅= a₁+ 4d=-6;

-6=-30+4d;

4d=24;

d=6.

2-Д.

3. a₁= 13, a₄ =1

a₄ =a₁ +3d,

1=13+3d,

3d=-12;

d=-4;

3-Б.

4. a₁= 17, a₁₁ = -3

a₁₁ = a₁ +10d = -3;

-3=17+10d;

10d= -20;

d=-2.

4-A.

Відповідь: 1-Г; 2-Д; 3-Б; 4-A.

Приклад 4. Установити відповідність між нескінченними спадними геометричними прогресіями (b_n) (1-4), заданими двома першими членами та їх сумами (А-Д).

1. b₁ = 6, b₂ =1	А. $20\frac{5}{6}$
2. b₁ = 25, b₂ = -5	Б. 0,6
3. b₁ = $\frac{2}{3}$ , b₂ = $-\frac{1}{3}$	В. 3,6
4. b₁= $\frac{3}{7}$ , b₂ = $\frac{6}{49}$	Г. 7,2
	Д. $\frac{4}{9}$

За відомою формулою $S=\frac{b_{1}}{1-q}$

1. b₁ = 6, b₂ =1

$S=\frac{6}{1-\frac{1}{6}}=\frac{6}{\frac{5}{6}}=\frac{36}{5}=7,2$

1-Г

2. b₁ = 25, b₂ =-5;

$S=\frac{25}{1+\frac{1}{5}}=\frac{25}{\frac{6}{5}}=\frac{125}{6}=20\frac{5}{6}$

2-А

3. b₁ = $\frac{2}{3}$ , b₂ = $-\frac{1}{3}$

$q=-\frac{1}{3}: \frac{2}{3}= -\frac{3}{6}=-\frac{1}{2}$

$S=\frac{\frac{2}{3}}{1+\frac{1}{2}}=\frac{2}{3}:\frac{3}{2}=\frac{4}{9}$

3-Д

4. b₁= $\frac{3}{7}$ , b₂ = $\frac{6}{49}$

$q=\frac{6}{49}:\frac{3}{7}=\frac{6\cdot 7}{3\cdot 49}=\frac{2}{7}$

$S=\frac{3}{7}:(1-\frac{2}{7})=\frac{3}{7}:\frac{5}{7}=\frac{3\cdot 7}{5\cdot 7}=\frac{3}{5}=0,6$

4-Б

Відповідь: 1-Г; 2-А; 3-Д; 4-Б.

Приклад 5. Знайти найбільше значення х, за яких числа х-1; 2х-1; і х²-5,

записані в указаному порядку утворюють арифметичну проогресію.

За означенням арифметичної прогресії:

х²-5-(2x-1)=2x-1-(x-1)

х²-5-2x+1=2x-1-x+1

х²-3x-4=0

За теоремою Вієта:

х₁=4

х₂=-1.

Найбільше з цих двох є 4.

Перевіримо, підставивши в умову, 3;7;11 - арифметична прогресія.

Відповідь: 4.

Приклад 6. (х_n) нескінченна спадна геометрична прогресія, у якої х₁=3,

$q=\frac{1}{3}$ .

Знайти суму її членів з непарними номерами.

Запишемо, дану геометричну прогресію

$3;1;\frac{1}{3};\frac{1}{9};\frac{1}{27};\frac{1}{81}......$

Випишемо члениз непарними номерами, тобто перший, третій, пятий, сьомий....

$3;\frac{1}{3}; \frac{1}{27}; \frac{1}{243}; \frac{1}{2187}.......$

утворилась нова нескінченна спадна геометрична прогресія, де

$b_{1}=3;\, \, \, q=\frac{1}{9}$ .

Нам треба знайти її суму. За відомою формулою, це буде:

$S=\frac{3}{1-\frac{1}{9}}=\frac{3}{\frac{8}{9}}=\frac{27}{8}=3,375$

Відповідь: 3,375.

Ми розібрали завдання на тему прогресія три різні типи, які будуть на ЗНО.

Зрозуміло, що це дається, як приклад, для того щоб розібрати і добре

освоїти цю тему бажано перерозвязувати багато вправ.

Успіхів :)

Статтю написав викладач математики Ткаченко Євген Миколайович

Комментариев нет:

Отправить комментарий

Подписаться на: Комментарии к сообщению (Atom)