Формули скороченого множення

Сьогодні розглянемо тему, яка починає вивчатись у 7 класі і часто використовується в математиці в поєднанні з іншими темами.

Квадрат суми. 

(с + d)²=(c + d)(c + d) = c² + cd + cd + d²=c² + 2cd + d²

Приклади:

  (2a + 3b)² = (2a)² + 2^.2a3b + (3b)² = 4a² + 12ab + 9b²

16x² + 8xb + b² = (4x + b)²

Квадрат різниці. (c - d)² = (c - d)(c - d) = c² - cd - dc + d²=c² - 2cd + d²

Приклади:

  (2a - 3b)²=(2a)²  - 2^.2a3b + (3b)² = 4a² - 12ab + 9b²

16x² - 8xb + b²=(4x - b)²

Різниця квадратів. (c - d)(c + d)=c² - cd + cd - d² = c² - d²

Приклади:

 (a - 3)(a + 3) = a² - 9 

25a² - 9b² = (5a - 3b)(5a + 3b)  

Різниця кубів. (c - d)(c² + cd + d²)=c³ -  dc² + dc² -  cd² + cd² - d³=c³ - d³

Приклади: 

(a - 2)(a² + 2a + 4) = a³ - 2³ = a³ - 8

8x³ - 27 = (2x - 3)(4x² + 6x + 9)

Сума кубів.  (c + d)(c² - cd + d²) = c³ + c²d - c²d - cd² + cd² + d³ = c³ + d³

Приклади: 

(a + 2)(a² - 2a + 4)=a³ + 2³ = a³ + 8

8x³+27=(2x+3)(4x²-6x+9)

Ці формули потрібно не тільки добре запам'ятати, але ще вміти 

застосовувати. Для цього потрібно багато попрактикуватись. 

Автор статті викладач математики Ткаченко Євген Миколайович

Функція y=[x], y={x}

Дуже багато олімпіадних задач є на знання цих функцій. Хоча ці теми не входять до шкільної програми. 

Ціла частина (ант'є)  у=[x] - це найбільше ціле число, яке не перевищує  х.

Розглянемо приклади: 

[2]=2;  [1,4]=1;  [-3]=-3;   [-3,2]=-4;   [-2,8]= -3.

[x+2]=4,3

Оскільки 4,3 - не ціле число, то наше рівняння розвязків немає. 

[x]=5;

за означенням цілої частини x є [5;6).

 Дробова частина (мантиса)  y={x}.  

{x}=x-[x]. 

Розглянемо приклади:

{7,3}=0,3;

{-8,4}=-8,4-(-9)=0,6.

Рівняння:   {x}= -4

Зрозуміло, що рівняння не має коренів.

Дуже важливою є формула 

[x]+{x}=x.

По даній темі було знято автором   комплекс віде уроків з даної  темі: 

графік дробової частини

графік цілої частини

Уроки, ще будуть виходити з цієї теми, так як розглянуто  базові речі  по цій тематиці.

автор викладач математики  Ткаченко Євген Миколайович