Задача на запис числа

Розглянемо цікаву задачу олімпіадного рівня:

"Два брати народились одного дня, але не в один рік. Виявилось, що в 2014 кожному з них виповнилось  стільки років, скільки становить сума цифр його року народження.  Визначить роки народження кожного з братів".

Для  того, щоб розв’язати дану задачу бажано перечитати попередню статтю про записи чисел.

Нехай рік народження буде .  Зрозуміло, що a,b,c,d натуральні числа від 1 до 9 або 0.

Тоді років буде a+b+c+d.

Отже, згідно умови

2014-1000a-100b-10c-d=a+b+c+d

2014=1001a+101b+11c+2d

Тепер більш детальніше проаналізуємо ці числа, а може бути лише 1 або 2 згідно умови, так як якщо а буде три і більше, то тоді отримаємо число більше за 2014, а якщо а=0, то тоді сам вік буде нереалістичний. Отже а або 1 або 2.

Нехай а=1, тоді

2014=1001+101b+11c+2d

1013=101b+11c+2d

Подумаємо, чому має дорівнювати b?

Зрозуміло, що b нулем бути не може, так як 11с+2d не можуть дорівнювати 2014, с і d максимум можуть бути 9, а 11с+2d максимум може бути 99+18=117 . По аналогічній причині b не може бути 1,2,3,4,5,6,7,8. Тому  b=9.

1013=909+11c+2d

104=11c+2d

Аналізуємо, чому дорівнює с.

 d  9,

 2d 18,

-2d-18

104-2d  104-18

104-2d  86

104=11c+2d

11c=104-2d

11c  86

c   

Враховуючи, що с не може перевищувати 9. Тому с або 8 або 9.

9 бути не може, тому що коли  с=9

11с=104-18=86,

86 на 11 не ділиться, тому с = 8.

104=88+2d

16=2d

d=8.

Тому дата народження першого хлопчика 1988.

Тепер розглянемо випадок коли а=2.

2014=2002+101b+11c+2d

12=101b+11c+2d

зрозуміло, що b=0

11c+2d=12

Ясно, що с<2

Якщо с=1, то  2d=1, а це неможливо, тому с=0.

d=6

Відповідь:  1988 і  2006.

Автор статті Ткаченко Євген Миколайович

Приклади на формули скороченого множення

Розглянемо на цю тему по одному прикладі  з кожного рівня. 

1. Розкласти на множники вираз  4(x+y)² - 9(x-y)² 

А	Б	В	Г	Д
-(13x-5y)(13x+5y)	(13x-5y)(13x-5y)	-(5x-y)(5y+y)	(5x-y)(5x+y)	(5x-y)(5y-x)

Розкриємо дужки:

4(x+y)² - 9(x-y)²  = 4(x² + 2xy + y² ) - 9(x² - 2xy + y² ) = 4x²  + 8xy + 4y² - ( 9x²  - 18xy + 9y² )  =4x² 

 + 8xy + 4y² -  9x² + 18xy - 9y²  = - 5x² + 26xy - 5y²  

Далі, знаючи формули скороченого множення, а саме різницю квадратів, і розкривши дужки в 

кожному з прикладів видно, що   ( 5x - y ) ( 5y - x ) =  - 5x² + 26xy - 5y². 

Відповідь : Д.

2. Установити відповідність між виразами (1-4) та тотожно-рівними їм виразами (А-Д).

1. (a - 2b)2  - (a - b)(a + b)	А.   2ab - 5a2
2. (2a + b)(b - 2a) - (a - b)2	Б.   2ab - 5b2
3.  (-2a-b)2 - (a-b)2	В.  -4ab + 5b2
4.  (-2a-b)2 - (a-b)(a+b)	Г.  4ab-5a2
	Д. 6ab+3a2

1.   (a - 2b)²  - (a - b)(a + b) = a² - 4ab + 4b² - a² + b² =-4ab+5b²  

1-В

2.  ( 2a + b )( b - 2a ) - ( a - b )²  =  b² - 4a² - a² + 2ab - b²  = 2ab - 5a² 

2-A

3.   ( - 2a - b )²  - ( a - b )²  = 4a² + 4ab + b² - a² + 2ab - b² = 3a²+6ab 

3-Д

4.  -(2a - b )² - ( a - b ) ( a + b ) =  -4a² + 4ab - b² - a² + b² =  -5a² +4ab 

4-Г

Відповідь: 1-В

                    2-А

                   3-Д

                   4-г 

3. Знайти частку від ділення 16⁵+2¹⁵ на 33 у вигляді степеня числа 2. У відповідь записати показник степеня.

  ( 2⁴ )⁵ + 2¹⁵  = 2²⁰  +  2¹⁵  =  2¹⁵ ( 2⁵ + 1 ) = 2^{15 .} 33

2^15 . 33 : 33= 2¹⁵  

Відповідь  15. 

Автор викладач математики Ткаченко Євген Миколайович

Множества чисел

что бы успешно сдать ВНО (ЗНО) нужно хорошо знать множества чисел, которые используются в школьном курсе математики.

С начало изучается множество натуральных чисел. Это числа, какие используются для счета. Наименьшее число на множестве натуральных чисел 1, наибольшего не существует. Обозначается N, Например, 1,2,3,4,5.... то есть N={1,2,3,4,5,6,7,8,......}

Натуральные + им противоположные (натуральные со знаком минус)+ число "ноль"  называются целые числа. Обозначаются Z.

 Z= {.......-3,-2,-1,0,1,2,3,......}.

Рациональные числа - это числа, которые можно записать как  

  где m є Z, n є N. Либо рациональные числа, это бесконечные десятичные, периодические дроби.  Обозначаются  Q.  Q={-3;  0,(3);  5; 0,67; 6/11...... }.

Иррациональные числа это бесконечные десятичные,  непериодические дроби.  Обозначаются  I. 

I={ ...} .

Иррациональные числа + иррациональные числа = вещественные числа R.

Рассмотрим несколько  примеров

1. 5 - натуральное, целое, рациональное, вещественное число;

2.  -3 - целое, рациональное, вещественное число; 

3. 0,75- рациональное, вещественное число;

4.  -  - иррациональное, вещественное число.

На этом изучение чисел в школьном курсе заканчивается. Хотя, есть, еще множество комплексных чисел, но это уже совершенно другая история :)

Есть видео материал по данной теме, автора статьи https://youtu.be/GcxLcFh5LHM множества чисел. 

Если остались вопросы - задаваайте! Успехов!