Арифметическая прогрессия

Пусть имеем последовательность чисел 12, 17, 22,27,32,37 ... Как Вы думаете какое число  следующее? Правильно, 42.

Поэтому, арифметическая прогрессия - это последовательность чисел, в которой каждый последующий член больше предыдущего на одно и то же число. Это "одно и то же число"  называется разницей арифметической прогрессии. Разница обозначается d. В нашем примере d = 5.

Элементы арифметической прогрессии обозначаются  a_i,  где i - номер элемента.

В выше приведенном примере a₁ =  12.

Итак, a₁;

a₂= a₁ + d;

a₃ = a₂ + d = а₁+d + d=a₁+2d;

a₄ = a₃ + d = a₁+2d + d=a₁+3d;

........................................................

a_n = a₁ + (n - 1) d.

Пример, найдем седьмой член выше приведенной последовательности:

a₇ = a₁ + 6d = 12+6 * 5 = 12 + 30 =42.

Нетрудно заметить, что в арифметической прогрессии каждый элемент, кроме первого и последнего является средним арифметическим предыдущего и последующего элементов.

Найдем среднее арифметическое элементов     a_n-2 и а_n

В нашем примере  12, 17, 22,27,32,37...

17=(12+22):2

22=(17+27):2

27=(22+32):2.

Сумма арифметической прогрессии

Есть такая интересная история. Когда известный математик Карл Гаусс был в третьем классе, то на уроке математики учитель дал детям задачу: найти сумму чисел от 1 до 100. 

Учитель рассчитывал,что дети будут долго считать, а он тем временем заполнит документацию. Но какое удивление, было у учителя когда маленький Гаусс через десять  минут сказал правильный ответ. Как же он считал? Карл записал числа от 1 до 100 следующим образом:

 1;   2;   3;  4;    5 ............50
100; 99;  98;  97;  96 .......... .51.  

Потом увидел, что сумма чисел в каждом столбце равна 101, а всего столбиков 50.

Поэтому сумма первых ста чисел равна 101 * 50 = 5050.

В общем случае сумма арифметической прогрессии равна полусумме первого ипоследнего элемента умноженную на количество элементов. То есть,

Вернемся к нашему примеру и найдем сумму первых семи членов нашей прогрессии

12, 17, 22,27,32,37

S₇ = 189.

---

Понятно?

Есть видео урок по данной теме, снятый преподавателем математики Ткаченко Е. Н. 

Теперь Вам осталось закрепить умение решать упражнения по этой теме, для этого нужно решать и еще решать.

Успехов!

автор статьи преподаватель математики Ткаченко Евгений Николаевич