Модуль числа

Сьогодні розгянемо тему "модуль числа". Ця тема є базова. Знання її необхідне для успішної здачі будь-якого математичного іспиту, в тому числі ЗНО, ДПА з математики. Що ж таке модуль числа?

Розглянемо простенькі приклади:
|5|=5;
|-4|=4.

Приклад № 1. Розв'язати рівняння

|x|=-2; Зрозуміло, що |x|>0 або |x|=0.
Тому, дане рівняння розв'язків немає.

Приклад № 2. Розв'язати рівняння

Приклад № 3

Установити відповідність між виразами (1-4) та їх значеннями (А -Д).

Вираз	Значення
1. |п-4|+|п-3|	А. 2п-7.
2. |3-п|-|-п-4|	Б.7.
3. -|п-4|-|п-3|	В.1
4. |п-4|+|-п-3|	Г. -1.
	Д. -7.

Розв'язання
Як відомо, п- це відношення довжини кола до його діаметра, і наближено дорівнює 3,14. Користуючись цим та означенням модуля (див. вище) розвяжемо цю вправу
1. |п-4|+|п-3|=4-п+п-3=1. В.
2. |3-п|-|-п-4|=п-3-(п+4)=п-3-п-4=-7. Д.
3. -|п-4|-|п-3|=-(4-п)-(п-3)=-4+п-п+3=-1. Г.
4. |п-4|+|-п-3|=(4-п)+п+3=4-п+п+3=7. Б.

Відповідь: 1-В, 2-Д, 3-Г, 4-Б.

Також, важлива формула

Приклад № 4

Спростити:

Приклад № 5
|x-2|+|3-x|=1

Шукаємо нулі модулів

х-2=0   3-x=0 

x=2      x=3   

Наші нулі модулів розбили множину на 3 частини і на кожній з них будемо шукати корені:
x<2
2-x+3-x=1
-2x=-4
x=2 - не належить розглядуваній множині x<2
xє [2;3)
x-2+3-x=1
1=1
перша відповідь xє [2;3)
x>=3
x-2+x-3=1
2x=6
x=3

Відповідь: хє[2;3].

Під знаком модуля може бути все, що завгодно, розв'язки будуть схожі, але потрібно буде враховувати область визначення та множину значень того, що стоїть під знаком модуля. Найкраще для засвоєння даної теми, візьміть та пророзвязуйте прикладів 50 на тему модуль, бажано не всі аналогічні. Успіхів! У Вас все вийде!!!

задачі на суміші

Чомусь в більшості учнів виникають проблеми при розвязанні задач на суміші тому порозвязуємо задачі по даній темі. Спробуйте спочатку самі розв'язати задачу, а потім звірити відповідь.

Задача № 1
2 кг сплаву міді з оловом містить 40% міді. Скільки потрібно додати до цього сплаву олова, щоб отриманий сплав містив 16% міді?

А.	3 кг
Б.	2,5 кг
В.	2 кг
Г.	4 кг
Д.	3,5 кг

Оскільки 2 кг сплаву містить 40% міді, то міді 2*0,4=0,8 кг. Нехай потрібно додати х кг олова, тоді згідно умови задачі
0,8:(2+х)=0,16
0,8=0,32+0,16 х
0,48=0,16 х
х= 3 кг

Відповідь: 3 кг.

Задача № 2

Скільки кілограм води потрібно випаровувати зі 100 кг 10%-го розчину солі, щоб одержати розчин з концентрацією 20%?

Маємо 100 кг розчину, в якому 100*0,1=10 кг солі, 90 кг води. Нехай х кг води потрібно випаровувати, тоді концентрація солі буде 10:(100-х)=0,2.
10=20-0,2х
0,2х=10.
х=50 кг.

Відповідь: 50 кг.

Задача № 3
сплав міді та цинку, маса якого дорівнює 6 кг, містить 45% міді. Скільки кілограм міді потрібно додати до цього сплаву, щоб він містив 60% міді?

сплав 6 кг, містить 6*0,45=2,7 кг міді. Нехай потрібно додати х кг, тоді відсотковий вміст міді буде
(2,7+х):(6+х)=0,6
2,7+х=3,6+0,6х
0,4х=0,9
х=2,25 кг

Відповідь: 2,25 кг.

Задача № 4
Змішали 2 л молока жирність якого дорівнює 6 % і 3л молока жирність якого, дорівнює 8%. Знайти у відсотках жирність утвореної суміші. Було 2*0,06=0,12 л сухої маси у першому молоці.

Та 3*0,08=0,24л сухої маси у другому молоці. Після змішування утворилося 2+3=5л суміші молок:-) І в цій суміші 0,12+0,24=0,36л сухої речовини. Знайдемо жирність
0,36:5=0,072.

Відповідь: 7,2%.

Задача № 5
Щоб одержати 800 г 50% розчину азотної кислоти, слід змішати 60% розчин цієї кислоти з 20%-м розчином. Скільки грам 20% розчину використали?

На виході має бути 800 г розчину в якому 800*0,5=400 г азотної кислоти. Нехай використали х гр 20% розчину, тоді (800-х) використали 60%. Знайдемо вміст солі у розчинах: у 20%: х*0,2 г азотної кислоти,а у 60%: (800-х)*0,6, і має бути 400 г, тобто
х*0,2+(800-х)*0,6=400
0,2х+480-0,6х=400
0,4х=80
х=80:0,4
х= 200 г.

Відповідь: 200 г.

Задача № 6
До 400 г 5% розчину солі додали солі й одержали 24%-й розчин. Яка маса утвореного розчину в грамах?

На початку мали 400 г розчину в якому 20 г солі. Нехай маса солі, яку додали х. Тоді одержали відсотковий вміст солі
(20+х):(400+х)=0,24
20+х=96+0,24х
0,76х=76
х=100 г,
тобто додали 100 г солі. Тобто маса утвореного розчину 500г.

Відповідь: 500 г.

Задачі взяті з підручника по підготовці до ЗНо з математики. Розв'язані автором даного блогу,тобто мною :-) Успіхів :-)