прогресія

Сьогодні, порозвязуємо приклади, які можуть бути на ЗНО по темі "Прогресія".

Приклад 1. В арифметичній прогресії a₁= 3, a₇₅ =299. Знайти a₅₀.

А	Б	В	Г	Д
90	99	190	199	203

Як ми знаємо  a₅₀=a₁+49d. Для розвязку задачі потрібно знайти d. Згідно умови a₇₅ = a₁+74d =299,

3+74d=299;

74d=299-3;

74d=296;

d=296:74;

d=4.

 a₅₀=a₁+49d=3+49*4=199;

Відповідь: 199 Г.

Приклад 2. Обчислити 17+17²+17³+...+17²⁰ =

А	Б	В	Г	Д

Треба знайти суму двадцяти членів геометричної прогресії у якої перший елемент дорівнює b₁= 17, q=b₂:b₁=17, 

Відповідь: В.

Приклад 3. Установити відповідність між арифметичними прогресіями (an)   та їх різницями (А-Д)

1.  a1= -1, a2 =3	А. -2
2.  a1= -30, a5 =-6	Б.  -4
3.  a1= 13, a4 =1	В. 2
4. a1= 17, a11 = -3	Г.  4
	Д.    6

  1.  a₁= -1, a₂ =3, d=3-(-1)=4.

     1-Г;

  2.  a₁= -30, a₅ =-6,  a₅= a₁ + 4d=-6;  

   -6=-30+4d;

   4d=24;

    d=6.

    2-Д.

   3. a₁= 13, a₄ =1

    a₄ =a₁  +3d,

     1=13+3d,

    3d=-12;

    d=-4;

    3-Б.

   4. a₁= 17, a₁₁ = -3

    a₁₁ =  a₁  +10d = -3;

   -3=17+10d;

   10d= -20;

   d=-2.

   4-A.

Відповідь:   1-Г;  2-Д;  3-Б;  4-A.

Приклад 4. Установити відповідність між нескінченними спадними геометричними  прогресіями (b_n)   (1-4), заданими двома першими членами та їх сумами (А-Д).

1.   b1 = 6,    b2 =1	А.
2.    b1 = 25, b2 = -5	Б.  0,6
3.    b1 = ,  b2 =	В. 3,6
4.    b1= ,   b2 =	Г.  7,2
	Д.

За відомою формулою  

1.   b₁ = 6,    b₂ =1

 

1-Г

2.    b₁ = 25,    b₂ =-5;

2-А

3.      b₁ = ,       b₂ = 

3-Д

  4.  b₁= ,   b₂ = 

4-Б

Відповідь:   1-Г;  2-А;  3-Д;  4-Б.

Приклад 5. Знайти найбільше значення х, за яких числа х-1;   2х-1; і х²-5, 

записані в указаному порядку утворюють арифметичну проогресію.

За означенням арифметичної прогресії:

 х²-5-(2x-1)=2x-1-(x-1)

 х²-5-2x+1=2x-1-x+1

 х²-3x-4=0

За теоремою Вієта:

х₁=4

х₂=-1.

Найбільше  з цих двох є 4.

Перевіримо, підставивши в умову, 3;7;11 - арифметична прогресія.

Відповідь: 4.

  Приклад 6.   (х_n)  нескінченна спадна геометрична прогресія, у якої   х₁=3, 

. 

 Знайти суму її членів  з непарними номерами.

Запишемо, дану геометричну прогресію 

Випишемо члениз непарними номерами, тобто перший, третій, пятий, сьомий....

утворилась нова нескінченна спадна геометрична прогресія, де 

.

Нам треба знайти її суму. За відомою формулою, це буде:

Відповідь: 3,375.

Ми розібрали завдання на тему прогресія три різні типи, які будуть на ЗНО.

Зрозуміло, що це дається, як приклад, для того щоб розібрати і добре 

освоїти цю тему бажано перерозвязувати багато вправ.

Успіхів :)

Статтю написав викладач математики Ткаченко Євген Миколайович

Дробно-рациональные уравнения

Рассмотрим примеры, аналогичные тем, которые могут быть на ЗНО по математике. Попробуйте самостоятельно решить а затем свериться с ответами.

Решить уравнение

  .

А	Б	В	Г	Д
5	R

 Понятно, что левая часть равна правой, при условии, что х не равен 5 (когда х = 5,  в знаменателе будет 0, а на 0 делить нельзя) .Поэтому х может быть любым действительным числом, кроме 5.

Ответ: Г.

2. Установить значения а, при которых уравнение

 

не имеет решений.

А	Б	В	Г	Д
a = -23	a = -9	a = 5	a = 23	a = 9

Имеем равенство двух дробей, если равные знаменатели (не равны нулю), то и равны будут числительные.

 x - 5 = a - x 

 a - x = x - 5

 a  = 2x - 5,

Ясно, что 

поэтому подставив  -9,  вместо х

a = 2x - 5 = 2( -9 ) - 5 =  -18 - 5 =  -23.

а = - 23. 

Ответ А.

3. Установить соответствие между уравнениями (1- 4) и множествами их решений

1.	A.  {-2; 5}
2.	Б. {-2;-5}
3.	В. {2;5}
4.	Г. {2;-5}
	Д.

Дробь равна нулю когда числитель равен 0, а знаменатель не равен, также нужно знать формулу разности квадратов

a² - b²  =  ( a - b ) ( a + b ) 

1.  х не равен 2 и х не  равен 5

 После сокращения получаем

 х + 2 = 0  или  х + 5 = 0

 х = - 2   или  х = - 5

1-Б 

2.  После сокращения получаем

   x - 2 = 0  или  х - 5 = 0

х = 2 или  х = 5.

2-В

3.  После сокращения в числителе останется 1, а в знаменателе выражение(х-2)(х+5)= 0, что не может быть,  поэтому решений нет.

3-Д

4. После сокращения получаем

х + 2 = 0  или  х - 5 = 0

 х = - 2  или  5

4-А

Ответ: 1-Б, 2-В,3-Д,4-А.

4. Установить соответствие между уравнениями (1- 4) и множествами их решений

1.	A.  {1}
2.	Б. {-1}
3.	В. {0}
4.	Г. {2}
	Д.

1. 

 

 2 = 1, а это противоречие, поэтому 

1-Д.

2.

 

3x + 2 = x + 2

3x - x  =  2 - 2

2x = 0

x = 0

2- В

3.   

2x + 3 = x + 2

x = 2 - 3

x = -1

3-Б

4. 

4x - 3 = 2 - x

4x + x = 2 + 3

5x = 5

x = 1

4-A

Ответ:  1-Д,  2-В, 3-Б,  4-А.

5.  Решить уравнение 

Пусть 

 

t⁴ - 8t²  - 9 = 0

Обычное биквадратное уравнение 

t²  = z (понятно, что  z может быть неотрицательным числом, в нашем случае z>0)

z² - 8z - 9 = 0

По теореме Виета

z₁ = 9

z₂ = -1   не будет решением уравнения

тогда

_t1 = 3

_t2 = -3  

Возвращаемся к замене 

x + 1 = 6x - 3

x-6x=-3-1

-5x = - 4

  

или

x + 1 = - 6x + 3

7x = 2

Ответ           

6. Решить уравнение 

Сделаем замену:

Тогда:

9t - 2(t² - 2) = 14

9t - 2t² + 4 = 14

 - 2t² + 9t - 10 = 0

  2t² - 9t + 10 = 0

 d = 81 - 4 * 2 * 10 = 81 - 80 = 1

t₁  = ( 9 - 1 ) : 4 = 2

t₂ = ( 9 + 1 ) : 4 = 2,5

возвращаемся к замене

x² - 2x + 1 = 0

( x - 1 )² = 0

 x = 1

2x² - 5x + 2 = 0

d = 25 - 4 * 2 * 2 = 9

x₁ = ( 5 - 3 ) : 4 = 0,5

x₂ = ( 5 + 3 ) : 4 = 2

Ответ:  0,5; 1;  2. 

Для того, чтобы хорошо научиться решать подобные упражнения нужно много практиковаться, начиная от простых заданий  и постепенно усложняя их. 

У Вас все получится! Вы отлично сдадите ЗНО, ДПА по математике

Успехов!

Автор статьи Ткаченко Евгений Николаевич