Приклади на формули скороченого множення

Розглянемо на цю тему по одному прикладі  з кожного рівня. 

1. Розкласти на множники вираз  4(x+y)² - 9(x-y)² 

А	Б	В	Г	Д
-(13x-5y)(13x+5y)	(13x-5y)(13x-5y)	-(5x-y)(5y+y)	(5x-y)(5x+y)	(5x-y)(5y-x)

Розкриємо дужки:

4(x+y)² - 9(x-y)²  = 4(x² + 2xy + y² ) - 9(x² - 2xy + y² ) = 4x²  + 8xy + 4y² - ( 9x²  - 18xy + 9y² )  =4x² 

 + 8xy + 4y² -  9x² + 18xy - 9y²  = - 5x² + 26xy - 5y²  

Далі, знаючи формули скороченого множення, а саме різницю квадратів, і розкривши дужки в 

кожному з прикладів видно, що   ( 5x - y ) ( 5y - x ) =  - 5x² + 26xy - 5y². 

Відповідь : Д.

2. Установити відповідність між виразами (1-4) та тотожно-рівними їм виразами (А-Д).

1. (a - 2b)2  - (a - b)(a + b)	А.   2ab - 5a2
2. (2a + b)(b - 2a) - (a - b)2	Б.   2ab - 5b2
3.  (-2a-b)2 - (a-b)2	В.  -4ab + 5b2
4.  (-2a-b)2 - (a-b)(a+b)	Г.  4ab-5a2
	Д. 6ab+3a2

1.   (a - 2b)²  - (a - b)(a + b) = a² - 4ab + 4b² - a² + b² =-4ab+5b²  

1-В

2.  ( 2a + b )( b - 2a ) - ( a - b )²  =  b² - 4a² - a² + 2ab - b²  = 2ab - 5a² 

2-A

3.   ( - 2a - b )²  - ( a - b )²  = 4a² + 4ab + b² - a² + 2ab - b² = 3a²+6ab 

3-Д

4.  -(2a - b )² - ( a - b ) ( a + b ) =  -4a² + 4ab - b² - a² + b² =  -5a² +4ab 

4-Г

Відповідь: 1-В

                    2-А

                   3-Д

                   4-г 

3. Знайти частку від ділення 16⁵+2¹⁵ на 33 у вигляді степеня числа 2. У відповідь записати показник степеня.

  ( 2⁴ )⁵ + 2¹⁵  = 2²⁰  +  2¹⁵  =  2¹⁵ ( 2⁵ + 1 ) = 2^{15 .} 33

2^15 . 33 : 33= 2¹⁵  

Відповідь  15. 

Автор викладач математики Ткаченко Євген Миколайович

Множества чисел

что бы успешно сдать ВНО (ЗНО) нужно хорошо знать множества чисел, которые используются в школьном курсе математики.

С начало изучается множество натуральных чисел. Это числа, какие используются для счета. Наименьшее число на множестве натуральных чисел 1, наибольшего не существует. Обозначается N, Например, 1,2,3,4,5.... то есть N={1,2,3,4,5,6,7,8,......}

Натуральные + им противоположные (натуральные со знаком минус)+ число "ноль"  называются целые числа. Обозначаются Z.

 Z= {.......-3,-2,-1,0,1,2,3,......}.

Рациональные числа - это числа, которые можно записать как  

  где m є Z, n є N. Либо рациональные числа, это бесконечные десятичные, периодические дроби.  Обозначаются  Q.  Q={-3;  0,(3);  5; 0,67; 6/11...... }.

Иррациональные числа это бесконечные десятичные,  непериодические дроби.  Обозначаются  I. 

I={ ...} .

Иррациональные числа + иррациональные числа = вещественные числа R.

Рассмотрим несколько  примеров

1. 5 - натуральное, целое, рациональное, вещественное число;

2.  -3 - целое, рациональное, вещественное число; 

3. 0,75- рациональное, вещественное число;

4.  -  - иррациональное, вещественное число.

На этом изучение чисел в школьном курсе заканчивается. Хотя, есть, еще множество комплексных чисел, но это уже совершенно другая история :)

Есть видео материал по данной теме, автора статьи https://youtu.be/GcxLcFh5LHM множества чисел. 

Если остались вопросы - задаваайте! Успехов!

  

Запис числа

Розглянемо тему, яка широко використовується в  задачах. Але, на жаль, не у  всіх школах на ній зупиняються.  Будь-яке число двозначне число ми можемо записати, як =10a+b;

Трьохзначне =100a+10b+c;

Чотирьохзначне =1000a+100b+10c+d…

Наприклад 23=2*10+3;

153=1*100+5*10+3;

3219=3*1000+2*100+1*10+9;

 Знаючи формулу запису числа ми можемо легко перемножити двозначні, а якщо потренуватись то і тризначні числа.

^.=(10a+b)(10c+d)=100ac+10ad+10cb+bd=100ac+10(ad+cb)+bd

25^.34=850 (кількість одиниць 0, це випливає з того, що 5*4=20, 0 пишемо 2 пам'ятаємо, кількість десятків  дорівнюватиме сумі добутків крайніх чисел 2*4+5*3=23 та плюс 2 буде 25, яку ми запам'ятовували, тому десятків - 5, і 2 пам'ятаємо, кількість сотень 2*3=6, та плюс 2=8).

Таким же чином ми можемо навчитись перемножати уснотрьохзначні числа. 

^.  =

(100a+10b+c)(100d+10e+f)= 10000ad+1000bd+100dc+1000ae+100be+10ec+100af+10bf+cf=10000ad+1000(bd+ae)+100(dc+be+af)+10(ec+bf)+cf.

Приклад 345^.582=200790 (тому що кількість одиниць 0, тому що  5*2=10, 1 памятаємо, кількість  десятків рахуємо  4*2+5*8+1=49, тому десятків 9, 4 лишається, кількість сотень  3*2+4*8+5*5+4=69, сотень 9, лишається 6, тисяч 3*8+4*5+6=50, 5 лишаємо, десятків тисяч 3*5+5=20).

Спробуйте, ще раз самостійно вивести дану формулу і порахувати,  а також формули множення двозначного числа на тризначне, тризначне на чотиризначне, а потім потренуйтесь усно множити  числа на практиці. Берете будь-які числа і множете. І Ви не тільки добре запамятаєте формулу числа , а і навчитеся множити великі числа усно. Усе прийде з практикою. 

Уявіть собі скільки часу Ви зможете зекономити собі на ЗНО!

Тренуйтесь!

Переглянути відео

Успіхів! :)

Автор статті викладач математики Ткаченко Євген Миколайович 

Арифметическая прогрессия

Пусть имеем последовательность чисел 12, 17, 22,27,32,37 ... Как Вы думаете какое число  следующее? Правильно, 42.

Поэтому, арифметическая прогрессия - это последовательность чисел, в которой каждый последующий член больше предыдущего на одно и то же число. Это "одно и то же число"  называется разницей арифметической прогрессии. Разница обозначается d. В нашем примере d = 5.

Элементы арифметической прогрессии обозначаются  a_i,  где i - номер элемента.

В выше приведенном примере a₁ =  12.

Итак, a₁;

a₂= a₁ + d;

a₃ = a₂ + d = а₁+d + d=a₁+2d;

a₄ = a₃ + d = a₁+2d + d=a₁+3d;

........................................................

a_n = a₁ + (n - 1) d.

Пример, найдем седьмой член выше приведенной последовательности:

a₇ = a₁ + 6d = 12+6 * 5 = 12 + 30 =42.

Нетрудно заметить, что в арифметической прогрессии каждый элемент, кроме первого и последнего является средним арифметическим предыдущего и последующего элементов.

Найдем среднее арифметическое элементов     a_n-2 и а_n

В нашем примере  12, 17, 22,27,32,37...

17=(12+22):2

22=(17+27):2

27=(22+32):2.

Сумма арифметической прогрессии

Есть такая интересная история. Когда известный математик Карл Гаусс был в третьем классе, то на уроке математики учитель дал детям задачу: найти сумму чисел от 1 до 100. 

Учитель рассчитывал,что дети будут долго считать, а он тем временем заполнит документацию. Но какое удивление, было у учителя когда маленький Гаусс через десять  минут сказал правильный ответ. Как же он считал? Карл записал числа от 1 до 100 следующим образом:

 1;   2;   3;  4;    5 ............50
100; 99;  98;  97;  96 .......... .51.  

Потом увидел, что сумма чисел в каждом столбце равна 101, а всего столбиков 50.

Поэтому сумма первых ста чисел равна 101 * 50 = 5050.

В общем случае сумма арифметической прогрессии равна полусумме первого ипоследнего элемента умноженную на количество элементов. То есть,

Вернемся к нашему примеру и найдем сумму первых семи членов нашей прогрессии

12, 17, 22,27,32,37

S₇ = 189.

---

Понятно?

Есть видео урок по данной теме, снятый преподавателем математики Ткаченко Е. Н. 

Теперь Вам осталось закрепить умение решать упражнения по этой теме, для этого нужно решать и еще решать.

Успехов!

автор статьи преподаватель математики Ткаченко Евгений Николаевич

Бесплатное изучение математики

На сегодняшний день, что бы поступить на хорошую специальность (инженерия, программирование, экономика, финансы,менеджмент) в престижный ВУЗ нужно сдавать математику на ВНО (ЗНО) и писать на высокий бал. Что для большинства абитуриентов проблематично, особенно если он с провинции либо с деревни.

Основные мифы, с которыми сталкиваются ученики и родители учеников

Миф 1. Родители думают, наймем репетитора, сами не являясь специалистом в математике.

Понятно, что найти репетитора не проблема. Проблема найти хорошего репетитора, который подготовит ребенка к сдаче нужного экзамена. Вспоминая свои студенческие годы, скажу, что среди моих одногрупников,  людей, которые учились со мной на одном потоке сильных математиков было мало. Хотя после окончания большинство пошло работать в школу. И конечно занимаются репетиторством.

Миф 2. Школа успешно готовит к любому экзамену. Ложь! Представьте себе, 25-30 человек с разным уровнем понимания математики, с разным уровнем психологического и физиологического развития. И каждого нужно подготовить, хотя в учителя программа по которой он идет. А разноплановых задач море.....

Миф 3. У ребенка 12 балов в школе по математике значит он сдаст на 200 балов без проблем. 

Тут тоже, нужно понимать, что в разных учителей  разные системы оценивания (не поверите, встречал преподавателя,который снижал оценки по математике из за грамматических ошибок в задачах и теоремах). 

Часто ученикам и самим хочется качественно подготовиться к нужному экзамену. Но классы разные, если класс вообще слабый, и есть один ученик чуть сильнее вот ему и ставят, как правило, высокий бал, несмотря на критерии оценивания. 

Кто внимательно работает на уроках, выполняя все домашнее задания, то и   тех знаний  бывает мало.Вы представьте приходит сдавать ВНО (ЗНО) отличник средней образовательной школы с 4-ма часами математики в недели и среднячок математического класса с 9 и больше часами математики.

 Что же делать? Выход есть! Попросить преподавателя с отзывами, опытом подготовить к нужному экзамену. Но не всегда семья может себе это позволить. Ведь у хорошого преподавателя и занятия дорого стоят. Да и попробуй его найти. Ведь часто они все время уже с сентября расписано.

Что бы я хотел предложить.  Бесплатную подготовку к ВНО (ЗНО) для всех нуждающихся. Раз в неделю, как правило по субботам провожу бесплатные занятия по математике в Киеве.Также работает группа в контакте https://vk.com/maths_zno_dpa, где разбираем основные простенькие задания з ВНО (ЗНО) прошлых годов, решено много тестов,выложено масса материалов, также, Вы сможете общаться с такими же учениками как и Вы.

Видео канал https://www.youtube.com/user/TkachenkoEvgeniy, где есть видео уроки, разобраны более сложные задачи, которые были или могут быть на ВНО (ЗНО), также сейчас работаем  над созданием бесплатных  массовых онлайн-курсов. Когда можно просмотреть видео, после пройти закрепляющий тест и в конце сдать по изученному материалу экзамен и  если успешно, то получить сертификат https://university-sandbox.raccoongang.com/courses/course-v1:Tkachenko+KOMB+2016_06/about.

Также  приглашаем преподавателей разных предметов  для сотрудничества и  создания бесплатного качественного учебного материала, для учеников, которые в этом нуждаются.

Всем успехов. Мира. Добра. Сделаем этот мир лучше!

Преподаватель математики Ткаченко Евгений Николаевич     

Что делать летом, для "поддержания формы"

Лето пора каникул.  Мало кто со школьников открывают учебники.
Как следствие, с 1 сентября ученику для решения элементарной задачи нужно  гораздо больше времени.
Поговорим о том, как провести лето с пользой и  интересом. Так как летом в детей очень много свободного времени и желательно его провести с пользой. За это время  можно очень сильно вырасти в знаниях по математике.
Выберите для себя наиболее непонятные темы и определитесь с порядком изучения. Очень часто ученик очень  комплексует, из за того, что не знает теорему Пифагора либо как решаются квадратные уравнения.
И каждый день  не спеша, разбирайте  определенную тему.  С начало прочитайте, как данная тема объясняется в учебнике, постарайтесь прочитать не спеша, вдумываясь в каждое слово. Если какое то слово непонятное, не переходите далее, не разобрав его. Потом можете для закрепления материала посмотреть как дана тема объясняется в других источниках, например, на https://www.youtube.com/channel/UC_BK0wmBGO6Kt24MJIU3sdg , если есть данная тема, если нет, Вы можете попросить автора объяснить, или на других ресурсах.  Далее, когда теория понятна, Вы про решайте примеры на эту тему. И так потихоньку, не спеша, не которые темы станут не такими страшными и непонятными. Самое главное, не бойтесь спрашивать и чего то не понять. Ищите, пока не найдете ответ на свой вопрос, или пока пока тема не станет для Вас понятной. Воспринимайте это как игру.  И тогда математика станет для Вас не просто сухая наука, а увлекательная игра, которая дает ответы на многие жизненные вопросы не связаны с математикой.
Также для культурного просвещения постарайтесь прочитать за лето как можно больше классической литературы, это большой жизненный опыт, данные книги Вас научат думать, анализировать, смотреть на некоторые вещи по другому.
А также не забывайте о прогулках на улице, занятиями спортом. Ведь в человеке должно быть прекрасно все.
Отдыхайте с умом и Вы обретете очень много полезного. Удачи!!!  :)

Советы перед сдачей ЗНО по математике

Вот до ВНО осталось очень мало времени.  Ученики с замиранием сердца считают дни к наступлению того дня, когда можна будет узнать, насколько успешно Вы  подготовились к экзамену.
В этой статье, дадим рекомендации, как сдать ВНО на максимально возможный для Вас бал.
1. Не волнуйтесь. Так как волнением пример не решите, а элементарных  ошибок наделать можете.
2. За день до экзамена хорошо отдохните, выспитесь, погуляйте, наберитесь сил.
3. В последние дни, перерешайте примеры с прошлых годов. Побольше решайте, уже не по отдельно взятой теме, а по всему материалу в комплексе.
4. На ВНО, если не знаете, как сделать задание, пропустите, делайте, то, что знаете, над чем Вы уверены. А потом приступайте к более сложным, если видите, что тяжело, попробуйте, проанализировать задание. Сделайте правильный рисунок, напишите формулу, того чего нужно найти, разбейте задачу на подзадачи и постарайтесь их решить.  
5. Если забыли какую то формулу или теорему, или не помните, какой там коэффициент стоит, попробуйте ее вывести.
6. Думайте, над каждым заданием, даже, если Вам оно кажется слишком легким и не серьезным.
7. Постарайтесь максимально сконцентрироваться на  задании, не отвлекайтесь на лишние звуки.
И у Вас все получится.
Успехов:)