Модуль числа

Сьогодні розгянемо тему "модуль числа". Ця тема є базова. Знання її необхідне для успішної здачі будь-якого математичного іспиту, в тому числі ЗНО, ДПА з математики. Що ж таке модуль числа?

Розглянемо простенькі приклади:
|5|=5;
|-4|=4.

Приклад № 1. Розв'язати рівняння

|x|=-2; Зрозуміло, що |x|>0 або |x|=0.
Тому, дане рівняння розв'язків немає.

Приклад № 2. Розв'язати рівняння

Приклад № 3

Установити відповідність між виразами (1-4) та їх значеннями (А -Д).

Вираз	Значення
1. |п-4|+|п-3|	А. 2п-7.
2. |3-п|-|-п-4|	Б.7.
3. -|п-4|-|п-3|	В.1
4. |п-4|+|-п-3|	Г. -1.
	Д. -7.

Розв'язання
Як відомо, п- це відношення довжини кола до його діаметра, і наближено дорівнює 3,14. Користуючись цим та означенням модуля (див. вище) розвяжемо цю вправу
1. |п-4|+|п-3|=4-п+п-3=1. В.
2. |3-п|-|-п-4|=п-3-(п+4)=п-3-п-4=-7. Д.
3. -|п-4|-|п-3|=-(4-п)-(п-3)=-4+п-п+3=-1. Г.
4. |п-4|+|-п-3|=(4-п)+п+3=4-п+п+3=7. Б.

Відповідь: 1-В, 2-Д, 3-Г, 4-Б.

Також, важлива формула

Приклад № 4

Спростити:

Приклад № 5
|x-2|+|3-x|=1

Шукаємо нулі модулів

х-2=0   3-x=0 

x=2      x=3   

Наші нулі модулів розбили множину на 3 частини і на кожній з них будемо шукати корені:
x<2
2-x+3-x=1
-2x=-4
x=2 - не належить розглядуваній множині x<2
xє [2;3)
x-2+3-x=1
1=1
перша відповідь xє [2;3)
x>=3
x-2+x-3=1
2x=6
x=3

Відповідь: хє[2;3].

Під знаком модуля може бути все, що завгодно, розв'язки будуть схожі, але потрібно буде враховувати область визначення та множину значень того, що стоїть під знаком модуля. Найкраще для засвоєння даної теми, візьміть та пророзвязуйте прикладів 50 на тему модуль, бажано не всі аналогічні. Успіхів! У Вас все вийде!!!

задачі на суміші

Чомусь в більшості учнів виникають проблеми при розвязанні задач на суміші тому порозвязуємо задачі по даній темі. Спробуйте спочатку самі розв'язати задачу, а потім звірити відповідь.

Задача № 1
2 кг сплаву міді з оловом містить 40% міді. Скільки потрібно додати до цього сплаву олова, щоб отриманий сплав містив 16% міді?

А.	3 кг
Б.	2,5 кг
В.	2 кг
Г.	4 кг
Д.	3,5 кг

Оскільки 2 кг сплаву містить 40% міді, то міді 2*0,4=0,8 кг. Нехай потрібно додати х кг олова, тоді згідно умови задачі
0,8:(2+х)=0,16
0,8=0,32+0,16 х
0,48=0,16 х
х= 3 кг

Відповідь: 3 кг.

Задача № 2

Скільки кілограм води потрібно випаровувати зі 100 кг 10%-го розчину солі, щоб одержати розчин з концентрацією 20%?

Маємо 100 кг розчину, в якому 100*0,1=10 кг солі, 90 кг води. Нехай х кг води потрібно випаровувати, тоді концентрація солі буде 10:(100-х)=0,2.
10=20-0,2х
0,2х=10.
х=50 кг.

Відповідь: 50 кг.

Задача № 3
сплав міді та цинку, маса якого дорівнює 6 кг, містить 45% міді. Скільки кілограм міді потрібно додати до цього сплаву, щоб він містив 60% міді?

сплав 6 кг, містить 6*0,45=2,7 кг міді. Нехай потрібно додати х кг, тоді відсотковий вміст міді буде
(2,7+х):(6+х)=0,6
2,7+х=3,6+0,6х
0,4х=0,9
х=2,25 кг

Відповідь: 2,25 кг.

Задача № 4
Змішали 2 л молока жирність якого дорівнює 6 % і 3л молока жирність якого, дорівнює 8%. Знайти у відсотках жирність утвореної суміші. Було 2*0,06=0,12 л сухої маси у першому молоці.

Та 3*0,08=0,24л сухої маси у другому молоці. Після змішування утворилося 2+3=5л суміші молок:-) І в цій суміші 0,12+0,24=0,36л сухої речовини. Знайдемо жирність
0,36:5=0,072.

Відповідь: 7,2%.

Задача № 5
Щоб одержати 800 г 50% розчину азотної кислоти, слід змішати 60% розчин цієї кислоти з 20%-м розчином. Скільки грам 20% розчину використали?

На виході має бути 800 г розчину в якому 800*0,5=400 г азотної кислоти. Нехай використали х гр 20% розчину, тоді (800-х) використали 60%. Знайдемо вміст солі у розчинах: у 20%: х*0,2 г азотної кислоти,а у 60%: (800-х)*0,6, і має бути 400 г, тобто
х*0,2+(800-х)*0,6=400
0,2х+480-0,6х=400
0,4х=80
х=80:0,4
х= 200 г.

Відповідь: 200 г.

Задача № 6
До 400 г 5% розчину солі додали солі й одержали 24%-й розчин. Яка маса утвореного розчину в грамах?

На початку мали 400 г розчину в якому 20 г солі. Нехай маса солі, яку додали х. Тоді одержали відсотковий вміст солі
(20+х):(400+х)=0,24
20+х=96+0,24х
0,76х=76
х=100 г,
тобто додали 100 г солі. Тобто маса утвореного розчину 500г.

Відповідь: 500 г.

Задачі взяті з підручника по підготовці до ЗНо з математики. Розв'язані автором даного блогу,тобто мною :-) Успіхів :-)

Відсотки. Задачі з ЗНО

Відсоток - це сота частина від числа.

Для початку рекомендую пропрацювати статтю .
Розглянемо задачі з ЗНО на відсотки:

1.Власник клубу має стабільний прибуток. Щоб збільшити прибуток він підвищив ціну на квитки на 25 %. Кількість відвідувачів значно зменшилася, і він вимушений був повернутися до початкової ціни квитка. На скільки відсотків власник клубу зменшив ціну квитка?

А.	125%
Б.	100%
В.	25%
Г.	20%
Д.	Інша відповідь

Нехай спочатку ціна була х грн(х>0), після її збільшення вона стала х+0,25х=1,25 х грн (спочатку шукаємо 25% відсотків від х, розуміючи, що х це 100%,тому ділимо на 100 дізнаємося скільки грн припадає на 1% і множимо на 25%). Але потім власник клубу зменшив ціну на 0,25 х грн,знайдемо скільки це становить відсотків від 1,25х. (0,25х):(1,25х) = 0,20 (оскільки відсоток це сота частина,то маємо 20 %).

Відповідь Г.

2. Кількість дівчат у класі становить 1/4 кількості хлопців. Установіть відповідність між задачами (1-4) та відповідями (А-Д) до них.

1. Скільки відсотків хлопців у класі?	А. 20%
2. Скільки відсотків дівчат у класі?	Б.75%
3. Знайти відсоткве відношення кількості дівчат до кількості хлопців	В. 25%
4. Знайти відсоткове відношення кількості хлопців до кількості дівчат	Г. 80%
	Д. 400

Нехай кількість дівчат х, тоді хлопців 4х, всього 5 х учнів.
1. Скільки відсотків хлопців у класі? 4х/(5х)=4/5=0,8 80%
2. Скільки відсотків дівчат у класі? х/(5х)=0,2 20%.
3. Знайти відсоткве відношення кількості дівчат до кількості хлопців х/(4х)=1/4 25%
4. 4х/х=4 400%.

Відповідь

1.	Г. 80%
2.	А.20%
3.	В. 25%
4.	Д. 400%

3. Сплав міді та цинку, маса якого дорівнює 6кг, містить 45% міді. Скільки кілограмів міді потрібно додати до цього сплаву, щоб він містив 60 % міді?

На початку в сплаві було 6*0,45=2,7 кг міді, а цинку 6-2,7=3,3 кг. Нехай потрібно додати х кг міді, тоді міді стане (2,7 + х) кг, а всього сплаву буде (6+х) кг. Тоді складемо рівняння: (2,7 + х):(6+х)=0,6 2,7+х=3,6+0,6 х 0,4х=0,9 х=0,9:0,4 х=2,25 кг

Відповідь 2,25 кг

ЗНО 201* з математики № 24

В даному блозі будемо готуватись до здачі ЗНО,ДПА, розв'язуючи вправи які були на даних іспитах в різних роках. Оскільки по більш складним завданням знімаю відео, то тут будемо розглядати простенькі вправи.

24. У прямокутній декартовій системі координат у просторі xyz задано точки A(2; 0; 0) і B(−4; 2; 6). До кожного початку речення (1—4) доберіть його закінчення (А—Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

Початок речення	Закінчення речення
1. Серединою відрізка AB є точка	А. (−1; 1; 3).
2. Вектор AB→ має координати	Б.(0; 2; 0).
3. Проекцією точки B на площину xz є точка	В. (−4; 0; 6).
4. Проекцією точки B на вісь y є точка	Г. (−6; 2; 6).
	Д. (−2; 2; 6).

Розв'язання

1. Серединою відрізка AB (A(2; 0; 0),B(−4; 2; 6)) є точка ((2-4):2;(0+2):2;(0+6):2)=(-1;1;3) А.
2. Вектор AB→ має координати (A(2; 0; 0),B(−4; 2; 6)) AB→(-4-2;2-0;6-0)=→(-6;2;6) Г.
3. Проекцією точки B(−4; 2; 6) на площину xz є точка (-4;0;6) В.
4. Проекцією точки B (−4; 2; 6) на вісь y є точка (0;2;0) Б.

Відповідь: 1-А; 2-Г; 3-В; 4-Б.

ЗНО 2015 з математики № 23

В даному блозі будемо готуватись до здачі ЗНО,ДПА, розв'язуючи вправи які були на даних іспитах в різних роках. Оскільки по більш складним завданням знімаю відео, то тут будемо розглядати простенькі вправи.

23. Установіть відповідність між геометричною фігурою (1—4) та її площею (А—Д).

Геометрична фігура	Площа геометричної фігури
1. круг радіуса 4 см (рис. 1)	А. 12π см 2
2.півкруг радіуса 6 см (рис. 2)	Б. 16π см 2
3.сектор радіуса 12 см з градусною мірою центрального кута 30∘ (рис. 3)	В. 18π см 2
4. кільце, обмежене колами радіусів 4 см і 6 см (рис. 4)	Г. 20π см 2
	Д. 24π см 2

Розв'язання

1. круг радіуса 4 см (рис. 1), S=πR²=16π см² Б.
2. півкруг радіуса 6 см (рис. 2), S=0,5πR²=0,5*36π см²=18π см² В.
3. сектор радіуса 12 см з градусною мірою центрального кута 30∘ (рис. 3), S=30πR² / 360= 30*144π/ 360=12π см², А.
4. кільце, обмежене колами радіусів 4 см і 6 см (рис. 4), знайдемо різницю площ S₁-S₂=π(36-16)=20π см², Г.

Відповідь: 1-Б; 2-В; 3-А; 4-Г.

ЗНО 2015 з математики № 22

В даному блозі будемо готуватись до здачі ЗНО,ДПА, розв'язуючи вправи які були на даних іспитах в різних роках. Оскільки по більш складним завданням знімаю відео, то тут будемо розглядати простенькі вправи.

22. Установіть відповідність між твердженням про дріб (1—4) та дробом (А—Д), для якого це твердження є правильним.

Твердження про дріб	Дріб
1. є скоротним	А. 5/7
2.є неправильним	Б. 13/27
3.менший за 0,5	В. 41/10
4.є оберненим до дробу 1 ціла 2/5	Г. 7/10
	Д. 34/51

Розв'язання

1. Скоротним є 37/51=2/3 можна скоротити на 17. Д.
2. неправильним є 41/10 чисельник більше за знаменник. В.
3. меншим за 0,5=1/2=27/54 є 13/27=26/54 Б.
4. Оберненим до 1 ціла 2/5=7/5 є 5/7 А.

Відповідь: 1-Д; 2-В; 3-Б; 4-А.

ЗНО 2015 з математики № 21

В даному блозі будемо готуватись до здачі ЗНО,ДПА, розв'язуючи вправи які були на даних іспитах в різних роках. Оскільки по більш складним завданням знімаю відео, то тут будемо розглядати простенькі вправи.

23. Установіть відповідність між функцією (1—4) та координатними чвертями (А—Д), у яких розміщений графік цієї функції (координатні чверті показано на рисунку).

Функція	Координатні чверті
1. y=−x2−1	А. II та IV
2. y=x+1	Б. III та IV
3.y=−1/x	В. І, II та III
4. y=cosx	Г. І, III та IV
	Д. І, II, III та IV

Розв'язання

1. це парабола, вітки вниз

Б. III та IV










2. це пряма

В. І, II та III










3. це гіпербола

А. II та IV










4. це косинусоїда

Д. І, II, III та IV

Відповідь: 1-Б; 2-В; 3-А; 4-Д.

ЗНО 2015 з математики № 20

В даному блозі будемо готуватись до здачі ЗНО,ДПА, розв'язуючи вправи які були на даних іспитах в різних роках. Оскільки по більш складним завданням знімаю відео, то тут будемо розглядати простенькі вправи.

20. Розв'яжіть нерівність

A. {−2}∪(3; 6]
Б.(−∞;−2]∪(3; 6]
В.[−2; 6]
Г. (−∞; 6]
Д.(−∞; 3)∪(3; 6]

Розв'язання

Розв'яжемо дану нерівність методом інтервалів. Тому шукаємо нулі, а також нулі знаменника і позначаємо на координатній прямій, виколюючи необхідні точки. Так як знак менше нуля, то нас цікавить проміжок (3; 6] а також точка х=-2, оскільки в цій точці вийде 0=0.Тому {−2}∪(3; 6]

Відповідь: А. {−2}∪(3; 6].

ЗНО 2015 з математики № 19

В даному блозі будемо готуватись до здачі ЗНО,ДПА, розв'язуючи вправи які були на даних іспитах в різних роках. Оскільки по більш складним завданням знімаю відео, то тут будемо розглядати простенькі вправи.

19. Укажіть рівняння прямої, яка може бути дотичною до графіка функції y=f(x) у точці з абсцисою x₀ = 2, якщо f′(2)=−3.

A. y = −3,5x+1
Б. y = 3x−2
В. y = 2x+3
Г. y = 1,5x−1

                 Д.y = −3x+2 

Розв'язання

Оскільки рівняння дотичної має вигляд y=f(x₀)+ f ′ (x₀) (x-x₀)= f ′ (x₀)x+f(x₀)+f(x₀)-f ′ (x₀)x₀ і тому зрозуміло, що кутовий коефіціент прямої дорівнює f′(x₀) = − 3. А з варіантів відповідей де k=-3, тільки y = − 3x+2. Отже, правильна відповідь Д.

Відповідь: Д.

ЗНО 2015 з математики № 18

В даному блозі будемо готуватись до здачі ЗНО,ДПА, розв'язуючи вправи які були на даних іспитах в різних роках. Оскільки по більш складним завданням знімаю відео, то тут будемо розглядати простенькі вправи.

18. Укажіть проміжок, якому належить число log₅4.

A. (0; 1)
Б. (1; 2)
В. (2; 3)
Г. (3; 4)
Д. (4; 5)

Розв'язання

log₅1 < log₅4 < log₅5;
0< log₅4 < 1;
log₅4 є (0;1).

Відповідь: A.

ЗНО 2015 з математики № 17

В даному блозі будемо готуватись до здачі ЗНО,ДПА, розв'язуючи вправи які були на даних іспитах в різних роках. Оскільки по більш складним завданням знімаю відео, то тут будемо розглядати простенькі вправи.

17. Лист заліза, що має форму прямокутника ABCD (AB=50 см), згортають таким чином, щоб отримати циліндричну трубу (див. рисунки 1 і 2). Краї AB і CD зварюють між собою без накладання одного краю на інший. Обчисліть площу бічної поверхні отриманого циліндра (труби), якщо діаметр його основи дорівнює 20 см. Оберіть відповідь, найближчу до точної. Товщиною листа заліза та швом від зварювання знехтуйте.

A. 1570 см²
Б. 3150 см ²
В. 5240 см ²
Г. 6300 см²
Д. 1000 см²

Розв'язання

Згідно умови R = 10 см, H=50 см
S_бічн=2PI*R*H=2*3,14*10*50=3140²
Тому найближче до правильної буде відповідь Б.

Відповідь: Б.

ЗНО 2015 з математики № 16

В даному блозі будемо готуватись до здачі ЗНО,ДПА, розв'язуючи вправи які були на даних іспитах в різних роках. Оскільки по більш складним завданням знімаю відео, то тут будемо розглядати простенькі вправи.

16. Розв'яжіть рівняння

A. −5; 5
Б. −20; 20
В. 20
Г.5
Д.−0,2; 0,2

Розв'язання

|x|=20
x₁=-20 x₂=20

Відповідь: Б. -20 і 20.

ЗНО 2015 з математики № 15

В даному блозі будемо готуватись до здачі ЗНО,ДПА, розв'язуючи вправи які були на даних іспитах в різних роках. Оскільки по більш складним завданням знімаю відео, то тут будемо розглядати простенькі вправи.

15. Яку властивість із наведених має функція y=2x−9?

A. є парною
Б. є непарною
В. є періодичною
Г. є спадною
Д. є зростаючою

Розв'язання

Побудуємо графік функції
Маємо функція виду y=kx+b, де k=2,b=-9. Це звичайна пряма лінія. Тому варіант В відпадає.
y(-x)=-2x-9
-y(x)=-2x+9
Бачимо, що функція ні парна ні непарна.
По графіку видно, що для більшого значення х, відповідає більше значення у. Тому функція зростаюча.

Відповідь: Д.

ЗНО 2015 з математики № 14

В даному блозі будемо готуватись до здачі ЗНО,ДПА, розв'язуючи вправи які були на даних іспитах в різних роках. Оскільки по більш складним завданням знімаю відео, то тут будемо розглядати простенькі вправи.

14. Висота правильної чотирикутної піраміди дорівнює 3 см, а сторона її основи — 12 см. Знайдіть довжину бічного ребра піраміди.

A. 6 см
Б. 3√5 см
В. 5√3 см
Г. 9 см
Д. 15 см

Розв'язання

За умовою в основі лежить квадрат.Тому за теоремою Піфагора, з трикутника BAC (кут B=90). BA²+BC²=AC², тому AC²= 144+144=288. АС=12√2. АО=6√2.З трикутника КОА,за теоремою Піфагора АК²=9+72=81, тому АК=9.

Відповідь: Г. 9.

ЗНО 2015 з математики № 13

В даному блозі будемо готуватись до здачі ЗНО,ДПА, розв'язуючи вправи які були на даних іспитах в різних роках. Оскільки по більш складним завданням знімаю відео, то тут будемо розглядати простенькі вправи.

13. Розв'яжіть систему рівнянь

Для одержаного розв'язку (x₀; y₀) системи обчисліть суму x₀+y₀.

A. 11
Б. 21
В. -7
Г. -10
Д. -14

Розв'язання

x₀+y₀=16-5=11.

Відповідь: 11.A.

ЗНО 2015 з математики № 12

В даному блозі будемо готуватись до здачі ЗНО,ДПА, розв'язуючи вправи які були на даних іспитах в різних роках. Оскільки по більш складним завданням знімаю відео, то тут будемо розглядати простенькі вправи.

12. На діагоналі AC квадрата ABCD задано точку, відстань від якої до сторін AB і BC дорівнює 2 см і 6 см відповідно. Визначте периметр квадрата ABCD .

A. 16 см
Б. 24 см
В. 32 см
Г. 48 см
Д. 64 см

Розв'язання

Продовжимо МК до перетину з АD і LK до перетину с СD. Розглянемо трикутники ALK і ANK вони рівні за гіпотенузою (спільна) і гострим кутом, діагоналі в квадраті є бісектрисами кутів). Звідси випливає AL=AN=2 см. Аналогічно, показуємо, що MK=KP=6 см. Тому АB=6+2=8 см. Периметр дорівнює 8*4=32 см.

Відповідь: 32 см. В.

ЗНО 2015 з математики № 11

На якому рисунку зображено ескіз графіка функції y=x−2−−−−−√?В даному блозі будемо готуватись до здачі ЗНО,ДПА, розв'язуючи вправи які були на даних іспитах в різних роках. Оскільки по більш складним завданням знімаю відео, то тут будемо розглядати простенькі вправи.

11. На якому рисунку зображено ескіз графіка функції    

 y=x−2−−−−−√?

А.   

             

 

Б.        

                

В.        

              

Г. 

                

Д.    

        

 Розв'язання

Спочатку креслимо  y = √x, потім на дві одиниці зміщуємо по осі х вправо. Тому Г.          

y=x

Відповідь:Г.

ЗНО 2015 з математики № 10

В даному блозі будемо готуватись до здачі ЗНО,ДПА, розв'язуючи вправи які були на даних іспитах в різних роках. Оскільки по більш складним завданням знімаю відео, то тут будемо розглядати простенькі вправи.

10. Спростіть вираз 11+tg2α.
A. cos2α
Б.  sin2α
В. tg2α
Г. ctg2α
Д. 1

---

Розв'язання

За відомою формулою 1+tg²x=1/cos²x, тому відповідь А.

Відповідь: А.cos²x.

ЗНО 2015 з математики № 9

В даному блозі будемо готуватись до здачі ЗНО,ДПА, розв'язуючи вправи які були на даних іспитах в різних роках. Оскільки по більш складним завданням знімаю відео, то тут будемо розглядати простенькі вправи.

9.Випущено партію з 300 лотерейних білетів. Імовірність того, що навмання вибраний білет із цієї партії буде виграшним, дорівнює 0,2. Визначте кількість білетів без виграшу серед цих 300 білетів.

A. 6
Б. 60
В. 294
Г. 150
Д. 240

---

Розв'язання

Протилежна подія до події "білет виграшний" є "білет без виграшу", тому ймовірність отримати білет без виграшу становить 0,8. Тобто 300*0,8=240 білетів.

Відповідь: Д.240.

ЗНО 2015 з математики № 8

В даному блозі будемо готуватись до здачі ЗНО,ДПА, розв'язуючи вправи які були на даних іспитах в різних роках. Оскільки по більш складним завданням знімаю відео, то тут будемо розглядати простенькі вправи.

8.На рисунку зображено прямокутний трикутник з катетами a і b, гіпотенузою c та гострим кутом α. Укажіть правильну рівність.

A.cosα=a/b
Б. cosα=c/b
В. cosα=a/c
Г. cosα=c/a
Д. cosα=b/c

---

Розв'язання

Косинусом гострого кута прямокутного трикутника називається відношення прилеглого катета до гіпотенузи.Тобто b/c. Отже, Д.

Відповідь: Д. b/c.